Comparación entre Permutaciones y Combinaciones
Muestreo
Suponiendo un conjunto de n objetos diferentes de los cuales se selecciona un cierto número k. La colección de esos k objetos suele llamarse una muestra de tamaño k seleccionada del conjunto dado. Se plantea la siguiente pregunta ¿Cuántas muestras diferentes pueden escogerse? Para esto defínase:
1) En qué forma se selecciona la muestra.
2)Lo que se entiende por muestras diferentes
1) La selección de la muestra puede hacerse
1.1) Se selecciona un objeto, y ya no puede volver a seleccionarse.
1.2) Una vez seleccionado un objeto, sólo se registra cuál es y se reintegra a la población, de modo que puede seleccionarse nuevamente.
Para
1.1) Se dice que la muestra es SIN remplazo.
1.2) Con reemplazo.
2)Una muestra será diferente de otras de acuerdo con uno de los 2 criterios básicos.
2.1) Una muestra es diferente de otra si hay al menos un elmento que está en una de las dos pero no en la otra.
2.2) Una muestra es diferente de otra si cumple el criterio 2.a) o bien si teniendo exactamente los mismos elementos, estos se obtuvieron en orden diferente.
Para
2.a) Se dice que el orden NO importa y
2.b) Muestras ordenadas.
Examinando cada Caso.
A. Se elige una muestra Sin reemplazo y el orden NO importa, entonces podemos determinar el número de muestras posibles como sigue:
Teorema
El número de muestras diferentes de tamaño k, donde el orden no importa, que puede seleccionarse sin reemplazo de una población de tamaño n, es igual a
Notación:
Ejemplo
¿De cuántas formas puede organizarse un equipo de basquetbol (5 jugadores) de entre un plantel de 7 jugadores?
Ahora para obtener el número de muestras ordenadas de tamaño k, basta considerar que cada muestra donde el orden no importa genera k! muestras ordenadas diferentes, correspondientes a las k! permutaciones de los elementos de la muestra. Dicho número es entonces
(n)k= n(n-1) (n-2) … (n-k+1)Considerando la selección CON Reemplazo se tiene el siguiente:
Teorema 1
El número de muestras ordenadas de tamaño k que pueden obtenerse con reemplazo, de una población de n elementos es nk.
Teorema 2
El número de muestras de tamaño k que pueden obtenerse, con reemplazo, de una población de n elementos, y donde el orden no importa, es igual a:
Resumiendo.Número de Muestras de tamaño k que pueden obtenerse de una población de n elementos.
