Tema 2 Series
Antes de iniciar es conveniente plantear unos cuestionamientos.
- ¿Qué es conceptualmente una serie?
- ¿Cómo se define?
- ¿Mediante qué se define el valor de una serie?
- ¿Para qué sirven las series?
- ¿Qué relación tiene una sucesión, un límite, una integral, una ecuación diferencial, y una función con una serie?
- ¿Qué se entiende por convergencia de una serie?
- ¿Se pueden clasificar las series?
- ¿Es útil estudiar las series?
Una serie es una sucesión ordenada de elementos que guardan un vínculo entre sí.
Series numéricas
Las series numéricas son un grupo de números ordenados, que guardan relación consecutiva entre si, y de ese modo una serie numérica puede ir de un número hasta otro de 1 en uno, de dos en dos, o de acuerdo a la serie que se elija. Los elementos de una serie numérica son los términos y el patrón.
La serie numérica de 5 en 5 que comience en 5 y llegue hasta 40 estará compuesta por los siguientes números: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 y 40.
Ejercicio. Completa la serie de cada línea.
La serie o sucesión puede ser creciente o decreciente.
En las series anteriores, hay dos series crecientes y dos decrecientes.
Representación matemática de la serie
Para las series anteriores se expresan matemáticamente en sucesiones como
Si {an} es una sucesión infinita y a1, a2, a3, … an, sus elementos, entonces la serie infinita es la suma infinita de los elementos de la sucesión y tiene la forma
y su valor se determina por medio de un límite.
¿Qué significa una suma de infinitos términos?
Para contestar la pregunta, se efectúan las siguientes sumas parciales. Esto es,
Como puede observarse S1, S2, S3, … son los elementos de la sucesión {Sn}, la cual es la sucesión de sumas parciales.
Para los ejemplos, se tienen
Cada suma parcial o elemento de la sucesión es una aproximación al límite de la serie. A medida que n crece, el término n-ésimo de {Sn} se aproxima a un límite.
Si la sucesión {Sn} tiene límite, entonces la serie
tiene límite. En caso contrario, la serie no tiene límite.
De conformidad con lo anterior, si
y donde “S” es el límite, que es la suma, entonces
y es convergente.
Ahora, si
entonces no existe el límite y
La suma S es el valor de la serie.
Para determinar la convergencia de una serie no siempre es posible calcular la suma, que es el límite. Cuando esto sucede, en lugar de calcular la suma, se emplea criterios.
Serie Telescópica
Antes de resolver dos problemas en los que es posible calcular la suma total, se define una serie telescópica. Esto es, sea
una serie. Después de desarrollar la serie dada y determinar las sumas, se obtiene:
Donde an pertenece a los Reales y Sn es la suma n-ésima. Si an, se puede expresar como an = bn+1 – bn,
es la suma n-ésima, se llama serie telescópica.
Serie Geométrica
Sumas parciales
Tarea
