Jacobi

Método de Jacobi

Este método no siempre converge a la solución y por eso se emplea muy poco. Sólo daremos algunos conceptos fundamentales y lo ilustraremos con un ejemplo.

  • El método consiste en despejar del sistema una de las variables de la primera ecuación, x1.
  • Después se asigna un valor a las restantes variables, x2=1, x3=1. Con ello, se obtiene el valor de la primer variable.
  • De la segunda ecuación se despeja x2 y se calcula su valor,
  • De la tercera ecuación se despeja x3 y se evalúa para actualizar su valor.
  • Los cálculos se repiten hasta alcanzar la convergencia y solución del sistema.

Para mejorar la convergencia se recomienda que la diagonal contenga los coeficientes que de la mayor suma de ellos.

Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Aplicando el método iterativo de Jacobi.
Despejando x1 de la primera ecuación, x2 de la segunda y x3 de la tercera:

Asignando valores iniciales para x2=1 y x3=1 se calcula x1. Con los nuevos valores se obtienen las siguientes aproximaciones.

x1=0.5+0.25(1) = 0.75,  
x2=1.5+0.25(0.75)+0.25(1)=1.9375, 
x3=0.5+0.25(1) = 0.75

X = [0.75, 1.9375, 0.75]

Se calcula la nueva aproximación con los nuevos valores

x1=0.5+0.25(1.9375) = 0.984375,  
x2=1.5+0.25(0.75)+0.25(0.75)=1.9335938, 
x3=0.5+0.25(1.9375) = 0.984375

Para un mejor manejo de estas ecuaciones las expresamos como

La tabla en Excel

La solución es [1, 2, 1]

Código de programación Matlab

% GAUSS JACOBI
% JAZP, 2026
clc
x2=1
x3=1
for i=1:10
    x1=0.5+0.25*x2
    x2=1.5+0.25*x1+0.25*x3
    x3=0.5+0.25*x2
end
% Muestra los resultados después de 10 iteraciones
disp(['x1 = ', num2str(x1), ', x2 = ', num2str(x2), ', x3 = ', num2str(x3)]);