mn0a Álgebra

Todo mundo sabe que 5 + 4 =9 y que 4+5=9, también se conoce que 25+8=33 y que 33-25=8. Para evitar anotar todas las sumas conocidas se puede representar con una fórmula de álgebra lo anterior. Esto es,

a + b = c

También a través del álgebra se puede generalizar otras operaciones aritméticas que al representarlas con letras se conocen como expresiones algebraicas. Esto es,

c = b + a,

c – a = b

c – b = a

Si cada letra corresponde a un número en particular como a = 25, b = 8 y c = 33 la última expresión algebraica se cumple. Esto es,

33 – 8 = 25

Lo anterior es álgebra.

Si alguien maneja a 30 km/h durante 2 horas, al final habrá recorrido 60 km. Si otra persona recorre durante 3 horas a 80 km/h, al final habrá recorrido 240 km. Esto algebraicamente se expresa como

D = V T

Distancia = (velocidad) (tiempo )

También se obtiene que

Velocidad = distancia/tiempo, y tiempo = distancia/velocidad

De forma abreviada

V = D/T y T = D/V

Fórmulas

Las primeras fórmulas algebraicas están muy relacionadas con la geometría. Así se tienen las fórmulas para determinar el área de varias figuras geométricas.

Triángulo A = bh/2

Cuadrado A = b h

Círculo A = pi (r)^2, donde pi = 3.1416

Un círculo de 5 cm tiene un área de

A = (3.1416)(5 cm)^2 = 78.54 cm^2

Expresiones Algebraicas

Las fórmulas empleadas al utilizar letras y asumir distintos valores son denominadas expresiones algebraicas. En el caso de pi que sólo acepta un valor se denomina constante.

Como regla general se emplean las literales x, y, z para referirse a incógnitas, y las literales a, b, c, … como variables conocidas.

Ejemplos de expresiones algebraicas son:

1. Un número dividido por la suma de dos números distintos.
2. La suma de un número más la mitad de otro.
3. La suma de tres números consecutivos.

Solución.

• x/(y+z)
• x+y/2
• x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3

Exprese cada una de las siguientes frases en expresiones algebraicas.

1. Un número más un tercio de otro número.
2. El promedio de dos números.
3. Dos veces un número dividido entre tres veces otro número.
4. La suma de un número con su cuadrado.
5. El 10% de un número sumado a ese número.
6. El 20% de la cantidad en que un número excede a 50.
7. La suma de los cuadrados de dos lados de un triángulo.
8. La mitad del producto de la base y la altura de un triángulo.
9. La distancia en kilómetros que recorre un coche en x horas a y kilómetros por hora.
10. El tiempo en que toma recorrer x millas a y millas por hora.
11. La velocidad en kilómetros por hora en que una lancha recorre y kilómetros en x horas.
12. La distancia total recorrida por un automóvil en 8 horas si su velocidad fue de x kilómetros por hora durante 3 horas y y kilómetros por hora durante 5 horas.
13. El tiempo, en horas, que tardó una lancha en recorrer 30 millas río arriba y de regreso si su velocidad fue de x millas por hora río arriba y y millas por hora río abajo.
14. El tiempo, en horas, que se tardó una lancha en viajar 30 kilómetros río arriba y de regreso si su velocidad en agua tranquila era de x kilómetros por hora y la velocidad de la corriente era de y kilómetros por hora. Suponga que x es mayor que y.

Solución a enunciados

1. x+1/3y
2. 1/2(x+y)
3. 2x/3y
4. x+x^2
5. 0.1x+x
6. 0.2x+50
7. a^2+b^2
8. 1/2(b)(h)
9. distancia=(y )(x)
10. tiempo=(x km)/(y millas/hora)
11. velocidad=y/x
12. d=3x+5x
13. t=30/x+30/y
14. t=30/x+30/(x-y)

Geometría

En las tablas 1 y 2 se muestran las fórmulas del área y del volumen por evaluar.

Utilice el enunciado y calcule lo que se pide.

1. El área de un cuadrado de lado x = 8.
2. El área de un rectángulo cuya altura es 1/3 de la longitud de la base.
3. El área de un cubo de lado x = 10.
4. El área de una caja rectangular con dimensiones x, 2x y 3x.
5. El volumen de una caja cuadrada de longitud x y altura 10.
6. El volumen de un cilindro en el que la base y la altura son x.
7. El volumen de lo que queda cuando a un cilindro de radio 10 y altura 12 se le perfora un orificio circular de radio 3 a lo largo del eje central del cilindro.
8. El volumen de una esfera de radio 12.5 cm
9. Dibuje un campo rectangular cuya longitud es 125 m más largo que el ancho y cuya perímetro es de 650 m.
10. Determine el área total del campo rectangular del enunciado anterior.

Libro recomendado para este tema.

Fleming, W. (1991). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Pearson Educación.

Solución

1. A=x^2
2. A=(b)(h)=(b)(1/3b)=(b^2)/3
3. A=(10)(10)
4. A=(x)(2x) o A=(x)(3x) o A=(2x)(3x)
5. V=(x)(x)(10)=10x^2
6. V=pi(5^2)(10)
7. V=pi(10^2)(12)-pi(3^2)(12)=pi(7^2)(12)
8. V=4/3pi(12.5)^3
9. 2(x+125)+2(x)=650, 4x+250=450, x=100
10. A=(125)(100)=12500