El método de la bisección explicado anteriormente es fácil de utilizar y tiene un error de análisis sencillo de medir, sin embargo, no es muy eficiente. Para la mayoría de las funciones, se puede mejorar con otra fórmula la tasa o rapidez a la cual converge a la raíz. Uno de tales métodos, es el método de falsa posición o regla falsa, en donde se combina el método de bisección con el método de la secante.
Supongamos que la función es lineal sobre el intervalo (x1, x2) de donde f(x1) y f(x2) son de signo opuesto.
Fig 8. Aproximación lineal
De la figura 8 se aprecian dos triángulos semejantes, de ellos se puede escribir.
La línea que une con tiene la forma de la recta
Definiendo m como la pendiente
Resolviendo para x3
Por lo tanto, la nueva aproximación a la raíz es
Entonces calculamos f(x3) y si el valor no es cero, de nuevo interpolamos linealmente los valores entre los cuales la función cambia de signo dando un nuevo valor para x3. La repetición de esto dará estimados mejorados de la raíz.
Después de varias iteraciones la recta de aproximación se va acercando a la solución como lo muestra la figura 9 siguiente.
Fig 9. Aproximaciones sucesivas a la raíz.
Ejemplo 1.8 Hallar la solución para la función
Solución. Explorando un cambio de signo en la función se aprecia que entre 5 y 6 hay un cero de la función.
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| – 28 | – 8 | – 2 | – 4 | – 8 | – 8 | 2 | 28 |
Se utilizará como valor inicial x1 = 5 y x2 = 6.
definamos
Primera iteración.
Segunda iteración
El método de la Interpolación lineal es algo más rápido que el método de la bisección de intervalos, obteniéndose la misma precisión después de tres iteraciones.
Una fórmula equivalente para la regla falsa es la siguiente.
Se muestran los cálculos
| n | x1 | f1(x) | x2 | f2(x) | x3 | f3(x) |
| 1 | 5 | – 8 | 6 | 2 | 5.8 | – 1.088 |
| 2 | 5.8 | – 1.088 | 6 | 2 | 5.87 | – 0.070 |
| 3 | 5.87 | – 0.070 | 6 | 2 | 5.8748 | – 0.004 |
| 4 | 5.8748 | – 0.004 | 6 | 2 | 5.8751 | – 0.002 |
| 5 | 5.8751 | – 0.002 | 6 | 2 | 5.8751 | – 0.002 |