mn2c Newton

Uno de los métodos más conocidos y aplicados para la solución de ecuaciones no lineales es el método de Newton. Para hallar la raíz por este método se aproxima la solución con un valor inicial de búsqueda denominado x1 y su valor en la función f(x) y el valor asociado a  la derivada de la función Df(x). La fórmula de aproximación es

x2 = x1 – f(x1) / Df(x1)

con el nuevo valor calculado x2 se repiten los cálculos hasta hallar un valor cercano a cero de la función.

Ejemplo. Hallar la raíz de la función f(x) = x^3 + 2x^2 – 8x – 4  con  x1 = 2

Solución:  La derivada es  Df(x) = 3x^2 + 4x – 8

x = 2,  fx = (2)^3 + 2(2)^2 – 8(2) – 4 = – 4 ,  Df = 3(2)^2 + 4(2) – 8 = 12

xn = x – fx / Df = 2 – (- 4) / 12 = 2.3333 ,   f(xn) =  0.9259

sucesivamente

xf(x)Df(x)
2– 412
2.333333330.92592592617.6666667
2.280922430.02457815616.7315111
2.279453461.90785E-0516.705538
2.279452321.15286E-1116.7055178
2.27945232016.7055178

La raíz buscada es x = 2.2795

Las otras raíces son x= –  3.82  y   x = – 0.459. La gráfica de la función se muestra enseguida

El valor inicial puede ser positivo o negativo. Pruebe con varios de ellos y compare para seleccionar el que requiera el menor número de cálculos (o iteraciones).

EJERCICIO. Utilizar Excel o Matlab para desarrollar una secuencia de cálculo que permita calcular la raíz a través de un programa.

SOLUCION CON MATLAB

> x=-4:0.1:4;
>> f=x.^3+2*x.^2-8*x-4;
>> plot(x,f)
>> grid
>>

para hallar las raíces se emplea

p=[1 2 -8 -4]

r=roots(p)

el resultado es

r =

   -3.8201
    2.2795
   -0.4594
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