MÉTODOS QUE EMPLEAN INTERVALOS.
Una función cambia de signo en la vecindad de una raíz real, estas técnicas reciben el nombre de métodos que emplean intervalos porque se requiere de valores iniciales para hallar la raíz; esto es, entre dos valores se localiza la raíz. Se pueden usar diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y de esta manera converger a la respuesta correcta.
La mayoría de las técnicas para aproximar una raíz de una ecuación requieren que empiece con una estimación previa de la localización de la raíz. De la teoría de las funciones continuas podemos considerar el Teorema del Valor Intermedio el cual se usa con frecuencia para obtener una estimación preliminar.
TEOREMA. Si f(x) es continua en el intervalo , y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces la ecuación f(x) = 0 tiene al menos una raíz entre x = a y x= b.
Este método requiere de dos valores iniciales a=x1 y b=x2 con la condición de que la función evaluada en cada punto sean de signos opuestos. Esto es, f(x1) es positiva y f(x2) es negativa, al existir el cambio de signo, forzosamente si la función es continua, entonces en cierto punto la función debe ser cero y en este punto se encuentra una raíz o solución de la función. Lo mismo se aplica para una función creciente.
| EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO. |
Ahora vamos a emplear este teorema en un ejemplo para estimar la localización de las raíces. Consideremos la función
DEMOSTRACIÓN.
Obtenemos la gráfica de esta función con ayuda de la localización de máximos y mínimos empleando el criterio de la primera derivada.
Al realizar la gráfica vemos que la ecuación tiene solo una raíz.
El método consiste en que el siguiente dato de aproximación se obtiene al promediar ambos datos previos.
x3 = (x1 + x2) / 2
El valor de la función en este punto reduce el intervalo de búsqueda al descartar el dato más lejano de la raíz. Siempre debe existir un cambio de signo en las funciones evaluadas.
Ejemplo.
Hallar la raíz positiva de la función f(x) = x^3 + 2x^2 – 8x – 4
| x1 | x2 | x3 | f(x1) | f(x2) | f(x3) | f3 * f1 | f3 * f2 |
| 1 | 3 | 2 | -9 | 17 | -4 | 36 | -68 |
| 2 | 3 | 2.5 | -4 | 17 | 4.125 | -16.5 | 70.125 |
| 2 | 2.5 | 2.25 | -4 | 4.125 | -0.4843 | 1.9375 | -1.998 |
| 2.25 | 2.5 | 2.375 | -0.484 | 4.125 | 1.6777 | -0.8126 | 6.920 |
| 2.25 | 2.375 | 2.3125 | -0.484 | 1.6778 | 0.5617 | -0.2721 | 0.9424 |
| 2.25 | 2.3125 | 2.28125 | -0.484 | 0.5617 | 0.030 | -0.0145 | 0.0168 |
| 2.25 | 2.28125 | 2.265625 | -0.484 | 0.03 | -0.2293 | 0.1110 | -0.0068 |
| 2.265625 | 2.28125 | 2.2734375 | -0.2293 | 0.03 | -0.100 | 0.0229 | -0.003 |
| 2.27734 | 2.28125 | 2.27734375 | -0.1001 | 0.03 | -0.0351 | 0.0035 | -0.001 |
| 2.27734 | 2.28125 | 2.27929688 | -0.0351 | 0.03 | -0.0025 | 9.1E-05 | -7.8E-05 |
LA RAÍZ BUSCADA ES X = 2.27734
NOTA. Las dos últimas columnas indican el producto de las funciones para el extremo izquierdo y el extremo derecho, el valor positivo indica cuál extremo se debe acortar.
EJERCICIO
Utilizar Excel o Matlab para desarrollar una secuencia de cálculo que permita calcular la raíz a través de un programa.
SOLUCIÓN
