El método más conocido y quizás el más simple para resolver sistemas de ecuaciones lineales es la “eliminación de Gauss”, que funciona eliminando variables de las ecuaciones al convertir en cero a los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal.
Las operaciones elementales que se utilizan en la eliminación de Gauss se pueden interpretar como operaciones de filas en la matriz aumentada. Estas consisten en:
- Permutar dos filas.
- Multiplicar una fila por un número diferente de cero.
- Sumar un múltiplo de un escalar a otro renglón.
A continuación se resuelve con ayuda de MATLAB el siguiente sistema de ecuaciones por eliminación de Gauss.
Dado que la primera entrada de la matriz es igual a 4, el primer paso permutar la primer ecuación con la tercera,
Con la primer ecuación y variable, transformar en cero todas las entradas de la primera columna debajo de x.
R2n = R2 – 2*R1 y R3n = R3 – 4R1
R2n = [2 -4 6 3] – [2 -2 6 8] = [0 -2 0 -5]
R3n = [4 -9 2 5] – [
El sistema de ecuaciones es el siguiente:
Ahora con la segunda ecuación eliminar y de la tercera ecuación.
R3n = R3n – 5/2R2n = [0 -5 -10 -11] – [0 5 0 12.50] = [0 0 -10 1.5]
El sistema resultante de ecuaciones es el siguiente:
Se despeja para hallar el valor de Z, Z = -1.5/10 = -0.15
Sustitución hacia atrás
Solución con rref
Introducir en MATLAB la información de la matriz aumentada:
A=[4 -9 2 5;2 -4 6 3;1 -1 3 4]
Utilizando el comando rref (A) se reduce la matriz aumentada a una matriz escalonada reducida cuya respuesta en forma de matriz diagonal es la solución del sistema propuesto.
>> rref(A)
que corresponde a la solución obtenida por reducción de variables.
Solución por comandos archivo M
La secuencia paso a paso se puede realizar en un archivo M como se muestra enseguida.
El resultado es el mismo pero ahora en un programa que no utiliza el comando rref(A). Prueba el código y compara el resultado de cada línea.
Si existe alguna duda, consulta con el profesor y te aclarará al programar en el editor de archivos M.
Modifica la primer línea y resuelve el siguiente sistema.
Solución: x = 85.40, y = 12, z = -10.80
Ejercicios
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones
