La ley de enfriamiento de Newton describe el cambio de temperatura de un cuerpo u objeto con el tiempo (tasa de cambio) en proporción a la temperatura de su entorno
Matemáticamente, la ley de enfriamiento de Newton se expresa como:
Donde:
dT/dt= la tasa de cambio de la temperatura respecto al tiempo
T= Temperatura del cuerpo.
Ta=Temperatura ambiente alrededor del cuerpo u objeto.
K=constante de proporcionalidad. (depende de las propiedades de T y Ta)
Esta ecuación diferencial describe cómo la temperatura del objeto (T) cambia con el tiempo (t) en función de la diferencia entre la temperatura del objeto, mientras que la temperatura del medio ambiente alrededor del objeto (Ta) es multiplicada por la constante de proporcionalidad (k), caracterizando la eficiencia del proceso de intercambio de calor.
La solución a esta ecuación diferencial proporciona una expresión matemática para la temperatura del objeto en función del tiempo, lo que permite predecir cómo el objeto se enfriará (o se calentará) en relación con su entorno térmico.
Para la solución, se debe tener en cuenta que esta ecuación diferencial lineal de primer orden es separable, por lo que podemos reorganizarla de la siguiente manera:
Para la solución, se debe tener en cuenta que esta ecuación diferencial lineal de primer orden es separable, por lo que podemos reorganizarla de la siguiente manera:
Luego, integrando ambos lados de la ecuación, obtenemos:
La integración de 1/(T-Ta) es simplemente ln |T – Tal|, y la integración de -k respecto a t es —kt + C, donde C’ es una constante de integración. Por lo tanto, obtenemos:
Para simplificar, podemos deshacernos del valor absoluto asumiendo que T > Ta, entonces:
Donde A = e^C es una constante positiva. Resolviendo para T, obtenemos:
Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada. Esta expresión describe cómo la temperatura del objeto T cambia con el tiempo t en función de la temperatura ambiente Ta, la constante de proporcionalidad k, y una constante A que depende de las condiciones iniciales del sistema.