El método de mínimos cuadrados sirve para hallar un mejor ajuste de curvas generadas a partir de un conjunto de datos. El término “mínimos cuadrados” es simplemente una forma abreviada de decir “minimizar la suma del error al cuadrado”. En MATLAB, la función polyfit resuelve el problema de ajuste por mínimos cuadrados. Para ilustrar el uso de esta función, utilizar el siguiente ejemplo.
La absorbancia de una sustancia varía con la concentración de glucosa de acuerdo a la siguiente tabla.
| Puntos | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| mg glucosa | 0 | 2 | 4 | 6 | 8 |
| absorbancia | 0.002 | 0.150 | 0.294 | 0.434 | 0.570 |
Para usar polyfit se deben dar los datos y el orden que mejor se ajuste a los datos. Si elige n = 1 como el orden, se encontrara la mejor aproximación líneal. Esto se llama “regresión lineal”. Por otra parte si designa n = 2, se buscará un “polinomio cuadrático”.
Para los datos tabulados, se observa que se debe utilizar un polinomio con curvatura en vez de una recta.
Introduciendo está información como polinomios en MATLAB se procede a obtener el polinomio de interpolación por el método de mínimos cuadrados.
Se carga la información necesaria en MATLAB como son los datos de la glucosa y absorbancia.
glu = [0 2 4 6 8];
>> ab = [0.002 0.15 0.294 0.434 0.57];
En este caso, glucosa es la variable independiente (abscisa) y el contenido de absorbancia es la variable dependiente (ordenada).
En MATLAB se carga el orden del polinomio de ajuste o regresión:
>> n = 2;
La función polyfit de MATLAB ajusta el polinomio de segundo grado a los datos de concentración de glucosa y absorbancia
>> p = polyfit(glu, ab, n);
p =
-0.0005 0.0750 0.0020
La salida de polyfit es un vector fila de los coeficientes de los polinomios. En este caso la solución es:
y = -0.0005x2 + 0.075x + 0.002
Para comparar la solución del ajuste de curvas a los datos, represente gráficamente ambos:
>> ti = linspace ( 0, 8, 2 );
Crea el eje x para representar el polinomio.
z = polyval ( p, ti );
Llama a la función polyval de MATLAB para evaluar el polinomio p con los datos en ti.
>> plot(glu,ab,glu,ab,’o’,ti,z,’:’);
La figura que se obtiene representa los datos originales x e y marcando los datos con ‘o ‘; después, se representan otra vez los datos originales dibujando líneas rectas entre ellos y los polinomios ti y z usando una línea a tramos.
Se completa la gráfica con las etiquetas y el título de la figura.
>>xlabel ( ‘Concentración ‘ )
>>ylabel (‘ Absorbancia ‘ )
>>title (‘Variación de la absorbancia con la concentración de glucosa’ )
La gráfica que se obtiene con ajuste cuadrático, n = 2 se muestra en la siguiente figura. Siendo el polinomio de ajuste cuadrático
p = – 0.0005x2 + 0.075x + 0.002
