{"id":7213,"date":"2025-12-02T11:23:06","date_gmt":"2025-12-02T17:23:06","guid":{"rendered":"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/?page_id=7213"},"modified":"2025-12-04T10:52:01","modified_gmt":"2025-12-04T16:52:01","slug":"m2l2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/lecciones-m2\/m2l2\/","title":{"rendered":"m2l2"},"content":{"rendered":"\n<h1>Tema 2 Series<\/h1>\n\n\n\n<p>Antes de&nbsp;<strong>iniciar<\/strong>&nbsp;es&nbsp;<strong>conveniente<\/strong>&nbsp;plantear unos&nbsp;<strong>cuestionamientos<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<ol>\n<li>\u00bfQu\u00e9 es conceptualmente una serie?<\/li>\n\n\n\n<li>\u00bfC\u00f3mo se define?<\/li>\n\n\n\n<li>\u00bfMediante qu\u00e9 se define el valor de una serie?<\/li>\n\n\n\n<li>\u00bfPara qu\u00e9 sirven las series?<\/li>\n\n\n\n<li>\u00bfQu\u00e9 relaci\u00f3n tiene una sucesi\u00f3n, un l\u00edmite, una integral, una ecuaci\u00f3n diferencial, y una funci\u00f3n con una serie?<\/li>\n\n\n\n<li>\u00bfQu\u00e9 se entiende por convergencia de una serie?<\/li>\n\n\n\n<li>\u00bfSe pueden clasificar las series?<\/li>\n\n\n\n<li>\u00bfEs \u00fatil estudiar las series?<\/li>\n<\/ol>\n\n\n\n<p>Una&nbsp;<strong>serie<\/strong>&nbsp;es una&nbsp;<strong>sucesi\u00f3n ordenada de elementos<\/strong>&nbsp;que guardan un v\u00ednculo entre s\u00ed.<\/p>\n\n\n\n<h2 id=\"series-numericas\">Series&nbsp;<strong>num\u00e9ricas<\/strong><\/h2>\n\n\n\n<p>Las series num\u00e9ricas son un grupo de n\u00fameros ordenados, que guardan relaci\u00f3n consecutiva entre si, y de ese modo una serie num\u00e9rica puede ir de un n\u00famero hasta otro de 1 en uno, de dos en dos, o de acuerdo a la serie que se elija. Los elementos de una serie num\u00e9rica son los t\u00e9rminos y el patr\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p>La&nbsp;<strong>serie num\u00e9rica de 5 en 5<\/strong>&nbsp;que comience en&nbsp;<strong>5<\/strong>&nbsp;y llegue hasta&nbsp;<strong>40<\/strong>&nbsp;estar\u00e1 compuesta por los siguientes n\u00fameros:&nbsp;<strong>5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 y 40<\/strong>.<\/p>\n\n\n\n<p>Ejercicio. Completa la serie de cada l\u00ednea.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/03\/image.jpg\" alt=\"\" class=\"wp-image-209\" width=\"576\" height=\"667\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>La serie o sucesi\u00f3n puede ser creciente o decreciente.<\/p>\n\n\n\n<p>En las series anteriores, hay dos series crecientes y dos decrecientes.<\/p>\n\n\n\n<h2>Representaci\u00f3n matem\u00e1tica de la serie<\/h2>\n\n\n\n<p>Para las series anteriores se expresan matem\u00e1ticamente en sucesiones como<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"1001\" height=\"547\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2025\/12\/imagen-614.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-7825\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2025\/12\/imagen-614.png 1001w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2025\/12\/imagen-614-300x164.png 300w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2025\/12\/imagen-614-768x420.png 768w\" sizes=\"(max-width: 1001px) 100vw, 1001px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Si {a<sub>n<\/sub>} es una sucesi\u00f3n infinita y a<sub>1<\/sub>, a<sub>2<\/sub>, a<sub>3<\/sub>, \u2026 a<sub>n<\/sub>, sus elementos, entonces la serie infinita es la suma infinita de los elementos de la sucesi\u00f3n y tiene la forma<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image.png?w=431\" alt=\"\" class=\"wp-image-324\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>y su valor se determina por medio de un l\u00edmite.<\/p>\n\n\n\n<p>\u00bfQu\u00e9 significa una suma de infinitos t\u00e9rminos?<\/p>\n\n\n\n<p>Para contestar la pregunta, se efect\u00faan las siguientes sumas parciales. Esto es,<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-1.png?w=489\" alt=\"\" class=\"wp-image-325\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Como puede observarse S<sub>1<\/sub>, S<sub>2<\/sub>, S<sub>3<\/sub>, \u2026 son los elementos de la sucesi\u00f3n {S<sub>n<\/sub>}, la cual es la sucesi\u00f3n de sumas parciales.<\/p>\n\n\n\n<p>Para los ejemplos, se tienen<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"454\" height=\"391\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2025\/12\/imagen-615.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-7826\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2025\/12\/imagen-615.png 454w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2025\/12\/imagen-615-300x258.png 300w\" sizes=\"(max-width: 454px) 100vw, 454px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Cada suma parcial o elemento de la sucesi\u00f3n es una aproximaci\u00f3n al l\u00edmite de la serie. A medida que n crece, el t\u00e9rmino n-\u00e9simo de {S<sub>n<\/sub>} se aproxima a un l\u00edmite.<\/p>\n\n\n\n<p>Si la sucesi\u00f3n {S<sub>n<\/sub>} tiene l\u00edmite, entonces la serie<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-2.png?w=81\" alt=\"\" class=\"wp-image-327\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>tiene l\u00edmite. En caso contrario, la serie no tiene l\u00edmite.<\/p>\n\n\n\n<p>De conformidad con lo anterior, si &nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/image.png?w=138\" alt=\"\" class=\"wp-image-423\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>y donde \u201cS\u201d es el l\u00edmite, que es la suma, entonces &nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/image-1.png?w=118\" alt=\"\" class=\"wp-image-424\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>y es convergente.<\/p>\n\n\n\n<p><\/p>\n\n\n\n<p>Ahora, si &nbsp;<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/image-2.png?w=266\" alt=\"\" class=\"wp-image-426\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>entonces no existe el l\u00edmite y<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/image-3.png?w=155\" alt=\"\" class=\"wp-image-428\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>&nbsp;La suma S es el valor de la serie.<\/p>\n\n\n\n<p>Para determinar la convergencia de una serie no siempre es posible calcular la suma, que es el l\u00edmite. Cuando esto sucede, en lugar de calcular la suma, se emplea criterios.<\/p>\n\n\n\n<h2>Serie Telesc\u00f3pica<\/h2>\n\n\n\n<p>Antes de resolver dos problemas en los que es posible calcular la suma total, se define una serie telesc\u00f3pica. Esto es, sea<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/image-1.png?w=118\" alt=\"\" class=\"wp-image-424\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>&nbsp;una serie. Despu\u00e9s de desarrollar la serie dada y determinar las sumas, se obtiene:<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-3.png?w=418\" alt=\"\" class=\"wp-image-329\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Donde &nbsp;a<sub>n<\/sub>&nbsp;pertenece a los Reales y S<sub>n<\/sub>&nbsp;es la suma n-\u00e9sima. Si a<sub>n<\/sub>, se puede expresar como a<sub>n<\/sub>&nbsp;= b<sub>n+1<\/sub>&nbsp;\u2013 b<sub>n<\/sub>,<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/11\/image-4.png?w=789\" alt=\"\" class=\"wp-image-431\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>es la suma n-\u00e9sima, se llama serie telesc\u00f3pica.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-4.png?w=803\" alt=\"\" class=\"wp-image-331\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-5.png?w=777\" alt=\"\" class=\"wp-image-333\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-6.png?w=787\" alt=\"\" class=\"wp-image-334\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-7.png?w=744\" alt=\"\" class=\"wp-image-336\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-8.png?w=765\" alt=\"\" class=\"wp-image-337\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-9.png?w=781\" alt=\"\" class=\"wp-image-338\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-10.png?w=792\" alt=\"\" class=\"wp-image-340\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-11.png?w=810\" alt=\"\" class=\"wp-image-341\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-12.png?w=802\" alt=\"\" class=\"wp-image-342\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-13.png?w=800\" alt=\"\" class=\"wp-image-344\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-14.png?w=779\" alt=\"\" class=\"wp-image-345\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2 id=\"serie-geometrica\">Serie Geom\u00e9trica<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-15.png?w=797\" alt=\"\" class=\"wp-image-347\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-16.png?w=811\" alt=\"\" class=\"wp-image-348\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2 id=\"sumas-parciales\">Sumas parciales<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-17.png?w=815\" alt=\"\" class=\"wp-image-350\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-18.png?w=807\" alt=\"\" class=\"wp-image-352\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-19.png?w=822\" alt=\"\" class=\"wp-image-353\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-20.png?w=584\" alt=\"\" class=\"wp-image-354\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-21.png?w=786\" alt=\"\" class=\"wp-image-356\" \/><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-22.png?w=527\" alt=\"\" class=\"wp-image-357\" \/><\/figure>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2022\/02\/pexels-photo-5974301.jpg?w=300\" alt=\"\" class=\"wp-image-1072\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<h2 id=\"tarea\">Tarea<\/h2>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/paramate2.wordpress.com\/wp-content\/uploads\/2021\/10\/image-23.png?w=639\" alt=\"\" class=\"wp-image-359\" \/><\/figure>\n\n\n\n<div class=\"is-layout-flex wp-block-buttons\">\n<div class=\"wp-block-button\"><a 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