El m\u00e9todo de la bisecci\u00f3n explicado anteriormente es f\u00e1cil de utilizar y tiene un error de an\u00e1lisis sencillo de medir, sin embargo, no es muy eficiente. Para la mayor\u00eda de las funciones, se puede mejorar con otra f\u00f3rmula la tasa o rapidez a la cual converge a la ra\u00edz. Uno de tales m\u00e9todos, es el m\u00e9todo de falsa posici\u00f3n o regla falsa, en donde se combina el m\u00e9todo de bisecci\u00f3n con el m\u00e9todo de la secante.<\/p>\n\n\n\n
Supongamos que la funci\u00f3n es lineal sobre el intervalo (x1<\/sub>, x2<\/sub>) de donde f(x1<\/sub>) y f(x2<\/sub>) son de signo opuesto. <\/p>\n\n\n\n Fig 8. Aproximaci\u00f3n lineal<\/p>\n\n\n\n De la figura 8 se aprecian dos tri\u00e1ngulos semejantes, de ellos se puede escribir.<\/p>\n\n\n\n La l\u00ednea que une con tiene la forma de la recta <\/p>\n\n\n\n Definiendo m como la pendiente<\/p>\n\n\n\n Resolviendo para x3<\/p>\n\n\n\n Por lo tanto, la nueva aproximaci\u00f3n a la ra\u00edz es<\/p>\n\n\n\n Entonces calculamos f(x3<\/sub>) y si el valor no es cero, de nuevo interpolamos linealmente los valores entre los cuales la funci\u00f3n cambia de signo dando un nuevo valor para x3<\/sub>. La repetici\u00f3n de esto dar\u00e1 estimados mejorados de la ra\u00edz.<\/p>\n\n\n\n Despu\u00e9s de varias iteraciones la recta de aproximaci\u00f3n se va acercando a la soluci\u00f3n como lo muestra la figura 9 siguiente.<\/p>\n\n\n\n Fig 9. Aproximaciones sucesivas a la ra\u00edz. Ejemplo 1.8 <\/strong> Hallar la soluci\u00f3n para la funci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n Soluci\u00f3n<\/strong>. Explorando un cambio de signo en la funci\u00f3n se aprecia que entre 5 y 6 hay un cero de la funci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Se utilizar\u00e1 como valor inicial x1 = 5 y x2 = 6.<\/p>\n\n\n\n definamos<\/p>\n\n\n\n Primera iteraci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n Segunda iteraci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n El m\u00e9todo de la Interpolaci\u00f3n lineal es algo m\u00e1s r\u00e1pido que el m\u00e9todo de la bisecci\u00f3n de intervalos, obteni\u00e9ndose la misma precisi\u00f3n despu\u00e9s de tres iteraciones.<\/p>\n\n\n\n Una f\u00f3rmula equivalente para la regla falsa es la siguiente.<\/p>\n\n\n\n Se muestran los c\u00e1lculos<\/p>\n\n\n\n
<\/strong><\/p>\n\n\n\n<\/em><\/td> 0<\/td> 1<\/td> 2<\/td> 3<\/td> 4<\/td> 5<\/td> 6<\/td> 7<\/td><\/tr> <\/td> \u2013 28<\/td> \u2013 8<\/td> \u2013 2<\/td> \u2013 4<\/td> \u2013 8<\/td> \u2013 8<\/td> 2<\/td> 28<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n n<\/td> x1<\/td> f1(x)<\/td> x2<\/td> f2(x)<\/td> x3<\/td> f3(x)<\/td><\/tr> 1<\/td> 5<\/td> \u2013 8<\/td> 6<\/td> 2<\/td> 5.8<\/td> \u2013 1.088<\/td><\/tr> 2<\/td> 5.8<\/td> \u2013 1.088<\/td> 6<\/td> 2<\/td> 5.87<\/td> \u2013 0.070<\/td><\/tr> 3<\/td> 5.87<\/td> \u2013 0.070<\/td> 6<\/td> 2<\/td> 5.8748<\/td> \u2013 0.004<\/td><\/tr> 4<\/td> 5.8748<\/td> \u2013 0.004<\/td> 6<\/td> 2<\/td> 5.8751<\/td> \u2013 0.002<\/td><\/tr> 5<\/td> 5.8751<\/td> \u2013 0.002<\/td> 6<\/td> 2<\/td> 5.8751<\/td> \u2013 0.002<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n