{"id":5756,"date":"2024-11-22T11:07:44","date_gmt":"2024-11-22T17:07:44","guid":{"rendered":"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/?page_id=5756"},"modified":"2024-11-22T11:07:44","modified_gmt":"2024-11-22T17:07:44","slug":"mn2b","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/unidad-2\/mn2b\/","title":{"rendered":"mn2b Bisecci\u00f3n"},"content":{"rendered":"\n

M\u00c9TODOS QUE EMPLEAN INTERVALOS.<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Una funci\u00f3n cambia de signo en la vecindad de una ra\u00edz real, estas t\u00e9cnicas reciben el nombre de m\u00e9todos que emplean intervalos porque se requiere de valores iniciales para hallar la ra\u00edz;  esto es, entre dos valores se localiza la ra\u00edz.  Se pueden usar diferentes estrategias para reducir sistem\u00e1ticamente el tama\u00f1o del intervalo y de esta manera converger a la respuesta correcta.<\/p>\n\n\n\n

La mayor\u00eda de las t\u00e9cnicas para aproximar una ra\u00edz de una ecuaci\u00f3n requieren que empiece con una estimaci\u00f3n previa de la localizaci\u00f3n de la ra\u00edz.  De la teor\u00eda de las funciones continuas podemos considerar el Teorema del Valor Intermedio el cual se usa con frecuencia para obtener una estimaci\u00f3n preliminar.<\/p>\n\n\n\n

TEOREMA. Si f(x) es continua en el intervalo , y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos, entonces la ecuaci\u00f3n f(x) = 0 tiene  al menos una ra\u00edz entre x = a y x= b.<\/p>\n\n\n

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\"meto1\"<\/figure><\/div>\n\n\n

Este m\u00e9todo requiere de dos valores iniciales a=x1 y b=x2 con la condici\u00f3n de que la funci\u00f3n evaluada en cada punto sean de signos opuestos. Esto es, f(x1) es positiva y f(x2) es negativa, al existir el cambio de signo, forzosamente si la funci\u00f3n es continua, entonces en cierto punto la funci\u00f3n debe ser cero y en este punto se encuentra una ra\u00edz o soluci\u00f3n de la funci\u00f3n. Lo mismo se aplica para una funci\u00f3n creciente.<\/p>\n\n\n

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\"meto2\"<\/figure><\/div>\n\n\n
EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO.<\/strong><\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

Ahora vamos a emplear este teorema en un ejemplo para estimar la localizaci\u00f3n de las ra\u00edces. Consideremos la funci\u00f3n<\/p>\n\n\n\n

\"meto3\"<\/figure>\n\n\n\n

DEMOSTRACI\u00d3N.<\/p>\n\n\n\n

Obtenemos la gr\u00e1fica de esta funci\u00f3n con ayuda de la localizaci\u00f3n de m\u00e1ximos y m\u00ednimos empleando el criterio de la primera derivada.<\/p>\n\n\n\n

\"meto4\"<\/figure>\n\n\n\n

Al realizar la gr\u00e1fica vemos que la ecuaci\u00f3n tiene solo una ra\u00edz.<\/p>\n\n\n

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\"meto2\"<\/figure><\/div>\n\n
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\"meto5\"<\/figure><\/div>\n\n
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\"meto6\"<\/figure><\/div>\n\n
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\"meto7\"<\/figure><\/div>\n\n
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\"meto8\"<\/figure><\/div>\n\n\n

El m\u00e9todo consiste en que el siguiente dato de aproximaci\u00f3n se obtiene al promediar ambos datos previos.<\/p>\n\n\n\n

x3 = (x1 + x2) \/ 2<\/p>\n\n\n\n

El valor de la funci\u00f3n en este punto reduce el intervalo de b\u00fasqueda al descartar el dato m\u00e1s lejano de la ra\u00edz. Siempre debe existir un cambio de signo en las funciones evaluadas.<\/p>\n\n\n\n

Ejemplo.<\/p>\n\n\n\n

 Hallar la ra\u00edz positiva de la funci\u00f3n f(x) = x^3 + 2x^2 \u2013 8x \u2013 4<\/p>\n\n\n\n

x1<\/td>x2<\/td>x3<\/td>f(x1)<\/td>f(x2)<\/td>f(x3)<\/td>f3 * f1<\/td>f3 * f2<\/td><\/tr>
1<\/td>3<\/td>2<\/td>-9<\/td>17<\/td>-4<\/td>36<\/td>-68<\/td><\/tr>
2<\/td>3<\/td>2.5<\/td>-4<\/td>17<\/td>4.125<\/td>-16.5<\/td>70.125<\/td><\/tr>
2<\/td>2.5<\/td>2.25<\/td>-4<\/td>4.125<\/td>-0.4843<\/td>1.9375<\/td>-1.998<\/td><\/tr>
2.25<\/td>2.5<\/td>2.375<\/td>-0.484<\/td>4.125<\/td>1.6777<\/td>-0.8126<\/td>6.920<\/td><\/tr>
2.25<\/td>2.375<\/td>2.3125<\/td>-0.484<\/td>1.6778<\/td>0.5617<\/td>-0.2721<\/td>0.9424<\/td><\/tr>
2.25<\/td>2.3125<\/td>2.28125<\/td>-0.484<\/td>0.5617<\/td>0.030<\/td>-0.0145<\/td>0.0168<\/td><\/tr>
2.25<\/td>2.28125<\/td>2.265625<\/td>-0.484<\/td>0.03<\/td>-0.2293<\/td>0.1110<\/td>-0.0068<\/td><\/tr>
2.265625<\/td>2.28125<\/td>2.2734375<\/td>-0.2293<\/td>0.03<\/td>-0.100<\/td>0.0229<\/td>-0.003<\/td><\/tr>
2.27734<\/td>2.28125<\/td>2.27734375<\/td>-0.1001<\/td>0.03<\/td>-0.0351<\/td>0.0035<\/td>-0.001<\/td><\/tr>
2.27734<\/td>2.28125<\/td>2.27929688<\/td>-0.0351<\/td>0.03<\/td>-0.0025<\/td>9.1E-05<\/td>-7.8E-05<\/td><\/tr><\/tbody><\/table><\/figure>\n\n\n\n

LA RA\u00cdZ BUSCADA ES X = 2.27734<\/p>\n\n\n\n

NOTA. Las dos \u00faltimas columnas indican el producto de las funciones para el extremo izquierdo y el extremo derecho, el valor positivo indica cu\u00e1l extremo se debe acortar.<\/p>\n\n\n\n

EJERCICIO<\/strong><\/p>\n\n\n\n

Utilizar Excel o Matlab para desarrollar una secuencia de c\u00e1lculo que permita calcular la ra\u00edz a trav\u00e9s de un programa.<\/p>\n\n\n\n

SOLUCI\u00d3N<\/p>\n\n\n

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\"\"<\/figure><\/div>\n\n
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\"\"<\/figure><\/div>\n\n\n
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regresar<\/a><\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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