{"id":5394,"date":"2024-11-22T14:33:45","date_gmt":"2024-11-22T20:33:45","guid":{"rendered":"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/?page_id=5394"},"modified":"2024-11-22T14:33:45","modified_gmt":"2024-11-22T20:33:45","slug":"lecm14","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/l-m\/lecm14\/","title":{"rendered":"lecm14  Eliminaci\u00f3n de Gauss"},"content":{"rendered":"\n<p>El m\u00e9todo m\u00e1s conocido y quiz\u00e1s el m\u00e1s simple para resolver sistemas de ecuaciones lineales es la \u201celiminaci\u00f3n de Gauss\u201d, que funciona eliminando variables de las  ecuaciones al convertir en cero a los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal.<br>Las operaciones elementales que se utilizan en la eliminaci\u00f3n de Gauss se pueden interpretar como operaciones de filas en la matriz aumentada. Estas consisten en:<\/p>\n\n\n\n<ul>\n<li>Permutar dos filas.<\/li>\n\n\n\n<li>Multiplicar una fila por un n\u00famero diferente de cero.<\/li>\n\n\n\n<li>Sumar un m\u00faltiplo de un escalar a otro rengl\u00f3n.<\/li>\n<\/ul>\n\n\n\n<p>A continuaci\u00f3n se resuelve con ayuda de MATLAB el siguiente sistema de ecuaciones por eliminaci\u00f3n de Gauss.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-19.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5430\" width=\"234\" height=\"103\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-19.png 386w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-19-300x132.png 300w\" sizes=\"(max-width: 234px) 100vw, 234px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Dado que la primera entrada de la matriz es igual a 4, el primer paso permutar la primer ecuaci\u00f3n con la tercera,<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-20.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5431\" width=\"178\" height=\"74\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-20.png 332w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-20-300x125.png 300w\" sizes=\"(max-width: 178px) 100vw, 178px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Con la primer ecuaci\u00f3n y variable,  transformar en cero todas las entradas de la primera columna debajo  de x.<\/p>\n\n\n\n<p>R2n = R2 &#8211; 2*R1  y  R3n = R3 &#8211; 4R1<\/p>\n\n\n\n<p>R2n = [2 -4 6 3] &#8211; [2 -2 6 8] = [0 -2 0 -5]<\/p>\n\n\n\n<p>R3n = [4 -9 2 5] &#8211; [ <\/p>\n\n\n\n<p>El sistema de ecuaciones es el siguiente:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-21.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5432\" width=\"268\" height=\"102\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-21.png 421w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-21-300x114.png 300w\" sizes=\"(max-width: 268px) 100vw, 268px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Ahora con la segunda ecuaci\u00f3n eliminar y de la tercera ecuaci\u00f3n.<\/p>\n\n\n\n<p>R3n = R3n &#8211; 5\/2R2n = [0 -5 -10 -11] &#8211; [0 5 0 12.50] = [0 0 -10  1.5]<\/p>\n\n\n\n<p>El sistema resultante de ecuaciones es el siguiente:<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-22.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5433\" width=\"262\" height=\"99\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-22.png 397w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-22-300x113.png 300w\" sizes=\"(max-width: 262px) 100vw, 262px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Se despeja para hallar el valor de Z,  Z = -1.5\/10  = -0.15<\/p>\n\n\n\n<h2>Sustituci\u00f3n hacia atr\u00e1s<\/h2>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"433\" height=\"225\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-23.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5434\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-23.png 433w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-23-300x156.png 300w\" sizes=\"(max-width: 433px) 100vw, 433px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"549\" height=\"57\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-24.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5435\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-24.png 549w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-24-300x31.png 300w\" sizes=\"(max-width: 549px) 100vw, 549px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<h2>Soluci\u00f3n con rref<\/h2>\n\n\n\n<p>Introducir en MATLAB la informaci\u00f3n de la matriz aumentada:<\/p>\n\n\n\n<p>A=[4 -9 2 5;2 -4 6 3;1 -1 3 4]<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-25.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5436\" width=\"212\" height=\"102\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>Utilizando el comando rref (A) se reduce la matriz aumentada a una matriz escalonada reducida cuya respuesta en forma de matriz diagonal es la soluci\u00f3n del sistema propuesto.<br>&gt;&gt; rref(A)<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"345\" height=\"123\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-26.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5437\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-26.png 345w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-26-300x107.png 300w\" sizes=\"(max-width: 345px) 100vw, 345px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>que corresponde a la soluci\u00f3n obtenida por reducci\u00f3n de variables.<\/p>\n\n\n\n<h2>Soluci\u00f3n por comandos archivo M<\/h2>\n\n\n\n<p>La secuencia paso a paso se puede realizar en un archivo M como se muestra enseguida.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"323\" height=\"260\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-27.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5438\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-27.png 323w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-27-300x241.png 300w\" sizes=\"(max-width: 323px) 100vw, 323px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<p>El resultado es el mismo pero ahora en un programa que no utiliza el comando rref(A). Prueba el c\u00f3digo y compara el resultado de cada l\u00ednea.<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"336\" height=\"346\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-28.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5439\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-28.png 336w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-28-291x300.png 291w\" sizes=\"(max-width: 336px) 100vw, 336px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><strong>Primera etapa<\/strong><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-29.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5440\" width=\"350\" height=\"343\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-29.png 350w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-29-300x294.png 300w\" sizes=\"(max-width: 350px) 100vw, 350px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><strong>Segunda etapa<\/strong><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"315\" height=\"99\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-30.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5441\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-30.png 315w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-30-300x94.png 300w\" sizes=\"(max-width: 315px) 100vw, 315px\" \/><figcaption class=\"wp-element-caption\"><strong>Etapa final<\/strong><\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n<p>Si existe alguna duda, consulta con el  profesor y te aclarar\u00e1 al programar en el editor de archivos M.<\/p>\n\n\n\n<p>Modifica la primer l\u00ednea y resuelve el siguiente sistema.<\/p>\n\n\n<div class=\"wp-block-image\">\n<figure class=\"aligncenter size-full is-resized\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-18.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5429\" width=\"238\" height=\"109\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-18.png 424w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-18-300x138.png 300w\" sizes=\"(max-width: 238px) 100vw, 238px\" \/><\/figure><\/div>\n\n\n<p>Soluci\u00f3n: x = 85.40, y = 12, z = -10.80<\/p>\n\n\n\n<h2>Ejercicios<\/h2>\n\n\n\n<p>Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones<\/p>\n\n\n\n<figure class=\"wp-block-image size-full\"><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" width=\"271\" height=\"695\" src=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-31.png\" alt=\"\" class=\"wp-image-5443\" srcset=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-31.png 271w, https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/wp-content\/uploads\/sites\/89\/2023\/08\/imagen-31-117x300.png 117w\" sizes=\"(max-width: 271px) 100vw, 271px\" \/><\/figure>\n\n\n\n<div class=\"is-content-justification-center is-layout-flex wp-container-1 wp-block-buttons\">\n<div class=\"wp-block-button\"><a class=\"wp-block-button__link has-dark-gray-color has-bright-blue-background-color has-text-color has-background wp-element-button\" href=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/l-m\/\">Lecciones<\/a><\/div>\n\n\n\n<div class=\"wp-block-button\"><a class=\"wp-block-button__link has-dark-gray-color has-yellow-background-color has-text-color has-background wp-element-button\" href=\"https:\/\/blogceta.zaragoza.unam.mx\/mnumericos\/lecm15\/\">siguiente lecci\u00f3n<\/a><\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>El m\u00e9todo m\u00e1s conocido y quiz\u00e1s el m\u00e1s simple para resolver sistemas de ecuaciones lineales es la \u201celiminaci\u00f3n de Gauss\u201d, que funciona eliminando variables de las ecuaciones al convertir en cero a los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal.Las operaciones elementales que se utilizan en la eliminaci\u00f3n de Gauss se pueden &hellip; 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